Vành tựa Frobenius (viết tắt là QF) đã được Nakayama giới thiệu vào năm 1939. Đây là một trong những lớp vành quan trọng mở rộng của vành nửa đơn. Đã có nhiều kết quả về vành QF. Và sau đó nhiều lớp vành mở rộng của QF đã được giói thiệu và thu được nhiều kết quả đẹp như vành giả Frobenius, vành Harada, đối Harada, ... Tuy nhiên, một trong những vấn đề cần quan tâm liên quan đến đặc trưng của vành QF là giả thuyết của Faith: Phải chăng một vành tự nội xạ một phía nửa nguyên sơ là QF. Trong hai đề tài trước đây (số 101.01.29.09 và 101.01-2012.11), chúng tôi đã đặc trưng vành QF thoả mãn các điều kiện yếu hơn, chẳng hạn như GP-nội xạ, nội xạ bé, nội xạ linh, ef-mở rộng ... Trong phần nghiên cứu tiếp tục, chúng tôi sẽ tiếp cận giả thuyết Faith với những mở rộng khác của môđun nội xạ, đặc biệt là nghiên cứu sâu hơn tính chất của môđun nội xạ và các mở rộng của nó. Từ đó quay lại để đặc trưng vành QF, cũng như các vành liên quan, mở rộng của QF, chẳng hạn như PF-vành, co-H, H-vành.