Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann cùng với một hàm mật độ dương e^{-f}, gọi là mật độ, dùng làm trọng số trong việc ước lượng thể tích, diện tích, độ dài.... Đa tạp với mật độ còn được gọi là đa tạp với trọng hay là không gian metric-độ đo trơn. Việc nghiên cứu hình học nói chung và các mặt f-cực tiểu (các mặt có f-độ cong trung bình bằng không) nói riêng trên các đa tạp với mật độ đang là một vấn đề thời sự. Các self-shrinker và self-translator, các nghiệm tự đồng dạng (self-similar solutions), của dòng độ cong trung bình (mean curvature flow, viết tắt là MCF) lần lượt là các mặt f-cực tiểu trong các không gian Gauss và không gian với mật độ log-tuyến tính. Chúng có vai trò then chốt trong việc nghiên cứu kỳ dị của MCF. Trường hợp 1-chiều, các đường cong có f-độ cong hằng trong mặt phẳng với mật độ e^x là các “traveling curved fronts” được nghiên cứu trong vật lý vì mối liên quan đến chuyển động xoáy (vortex motion) của phương trình siêu dẫn Ginzburg-Landau cũng như hiện tượng bề mặt chung (interfacial phenomena). Việc nghiên cứu các mặt f-cực tiểu, xây dựng các ví dụ về các mặt f-cực tiểu trên các không gian với mật độ cho trước, mở rộng một số các kết quả cổ điển của lý thuyết mặt cực tiểu cho các mặt f-cực tiểu cũng như việc nghiên cứu các vấn đề tương tự cho các mặt f-cực đại kiểu không gian trên các đa tạp Lorentz với mật độ đang là các vấn đề thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới trong thời gian gần đây.